DESARROLLO DEL BINOMIO

 

Una de las aplicaciones de las combinaciones más utilizadas es el desarrollo del Binomio de Newton. Los números combinatorios son llamados también coeficientes binomiales por el papel que juegan en el desarrollo del binomio:

(a + b)n , n = 0, 1, 2, 3,¼

Sabemos que:

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 +b6

Hagamos algunas observaciones acerca de estos desarrollos:

  1. En el desarrollo de (a + b)n hay (n+1) términos.
  2. Los exponentes de a disminuyen de 1 en 1 desde n hasta 0.
  3. Los exponentes de b aumentan de 1 en 1 desde 0 hasta n.
  4. Las suma de los exponentes de a y b en cada uno de términos es igual a n.
  5. Los coeficientes del primer y último términos son ambos iguales a 1
  6. Los coeficientes del segundo y penúltimo término son ambos iguales a n.
  7. Los coeficientes de los términos son simétricos respecto del término central (si n es par) o respecto de los dos términos centrales (si n es impar).

Considerando todas las observaciones anteriores, los (n+1) términos del desarrollo (a+b)n sin sus coeficientes son:

an , an-1b , an-2b2 , an-3b3 ,¼ , an-rbr ,¼ , abn-1 , bn

Si multiplicamos (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)3, obtenemos

aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb

Un término con 3 a y 0 b
Tres términos con 2 a y 1 b
Tres términos con 1 a y 2 b
Un término con 0 a y 3 b
Si consideramos el número de b en cada término del producto de los tres factores
(a + b)(a + b)(a + b), hay

(un término con cero b) .

(tres términos con una b)

(tres términos con dos b)

(un término con tres b)

Por lo tanto, (a + b)3 = = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

En general, los coeficientes de (a + b)n son:

De donde

1111111T1

111111111T2

1111111T3 111111Tr+1 1111111111Tn 111111111Tn+1

 

 

En consecuencia podemos escribir el término general como:

Ejemplo 19: Desarrollar (1 + b)n

Solución:

(1+b)n =

 

Ejemplo 20: Desarrollar (1 + 1)n

Solución:

Por lo tanto:

Ejemplo 21: Sin desarrollar hallar el octavo término del desarrollo (2x - y)11

Solución: Usando la fórmula del término general

, con n = 11, r = 8, a = 2x y b = -y

Ejemplo 22: Hallar el término independiente de x en el desarrollo de

Solución:

Como queremos el término independiente de x, el exponente de x debe ser cero; por lo tanto, 24 – 3r = 0 Û 3r = 24 Û r = 8

Por consiguiente, el término independiente de x es

 

 

 

1999 Jose 3
Texto: M. en C. María José Marques Dos Santos
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