VARIABLE ALEATORIA

 

Para introducir el concepto de variable aleatoria, veamos primero algunos ejemplos, al arrojar dos dados, sabemos que la suma X de los puntos que caen hacia arriba debe ser un número entero entre 2 y 12, pero no podemos predecir que valor de X aparecerá en el siguiente ensayo, por lo que decimos que X depende del azar, por lo tanto es una variable aleatoria que toma valores entre 2 y 12. El tiempo de vida de un foco que se extrae aleatoriamente de un lote de focos depende también del azar, este constituye otro ejemplo de una variable aleatoria que varía entre el tiempo 0 y un valor indeterminado, ya que no sabemos exactamente cuanto tiempo va durar. El número de varones de una familia con 5 hijos también es una variable aleatoria que varía de 0 a 5, ya que en una familia de cinco hijos puede que no haya ningún varón, uno, dos, tres, cuatro o cinco varones.

Si las observaciones no se dan en términos numéricos, podemos asignarles números y reducir las observaciones cualitativas al caso cuantitativo; así tenemos que la función que asigna valores numéricos a cada uno de los elementos del espacio muestra con una probabilidad definida, se denomina "variable aleatoria".

Por ejemplo, si se lanza una moneda 3 veces, el número de águilas X es una variable aleatoria que toma los valores 0, 1, 2, ó 3; es decir puede que ninguna vez, una sola, dos o tres veces salga águila como resultado; la probabilidad de que (dos águilas) es ya que el espacio muestra aaa, aas, asa, ass, sas, ssa, sss. Y de estos ocho resultados hay tres en los cuales hay dos águilas. Con esto podemos ver que el espacio muestra es el dominio de la función y el conjunto de valores que la variable puede tomar es el rango o recorrido de la función, que es un subconjunto de los reales . Si el conjunto de valores de X es un conjunto finito o infinito numerable, es decir, si se pueden enlistar o enumerar, se dice que la variable es discreta, dicho de otra manera si el rango de la función X es un subconjunto de los enteros Z, la variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta, y si el conjunto de valores de X es no numerable, o es un subconjunto de los números reales , la variable aleatoria se llama variable aleatoria continua. Son ejemplos de variables aleatorias continuas: la estatura, el peso, la edad, el volumen, el pH, etc. Algunos ejemplos de variables discretas aleatorias son: el número de alumnos que asisten diariamente durante un semestre, el número de accidentes automovilísticos en una ciudad por día, el número de piezas defectuosas por lote, el número de alumnos aprobados por grupo en un examen, etc.

Fig. 1 Variable aleatoria

Una variable aleatoria X es una función cuyo dominio es el espacio muestra S cuyo rango es un subconjunto de los números reales que tiene asociada a su conjunto de valores una función de probabilidad.

 

Ejemplo 1: Supongamos que la Secretaría del Medio Ambiente inspecciona una vez al mes la cantidad de un contaminante que descarga una compañía de productos químicos. Si la cantidad del contaminante excede el nivel máximo permitido, se multa a la compañía y se le obliga a corregir el problema. Consideremos las siguientes dos variables aleatorias asociadas a este problema:

Primero digamos que X es el número de meses antes de que la compañía excede los límites permitidos del contaminante. Esta variable toma valores 1, 2, 3, … pero no conocemos donde termina, ya que quizás nunca exceda estos límites permitidos, por lo tanto, el conjunto de valores de X es el conjunto de los números enteros positivos. Como podemos enlistar o numerar el conjunto (es un conjunto numerable) de valores de la variable X, decimos que la variable aleatoria X es una variable aleatoria discreta.

Si la segunda variable X es la cantidad del contaminante que excede los límites permitidos (en miligramos por litro) medidos por mes en una muestra de aguas residuales de la compañía, ¿qué valores toma la variable? A diferencia de la primera variable, el conjunto de valores de ésta no se puede enlistar o numerar, sino que proviene de una medición. El conjunto de valores es un intervalo de valores desde 0 y un número indeterminado, quizás entre 0 y 500 miligramos o 1000 miligramos, tal vez. Decimos entonces, que X es una variable aleatoria continua.

 

Ejemplo.2: Supongamos que nos interesamos por el número de varones X en el experimento de observar al azar dos niños recién nacidos (Sea H = hombre y M = mujer). Entonces, el espacio muestra, los valores de la variable aleatoria X que cuenta el número de varones y su función de probabilidad se dan en la siguiente tabla:

S

Valores de X: xi

MM

0

MH , HM

1

HH

2

   

Observe que esta variable es una variable discreta y que la suma de todas las probabilidades para todos los valores de la variable es 1.

Ejemplo 3: Sea X la variable aleatoria que indica la suma de los puntos en las caras superiores al lanzar dos dados, Determine el espacio muestra, el conjunto de valores de X y las probabilidades respectivas.

Solución: El espacio muestral S es el conjunto de los 36 pares ordenados que se indican a continuación:

Este conjunto se puede visualizar como el conjunto de puntos del plano cartesiano que se muestra a continuación

Fig. 2 Diagrama del Espacio Muestral del lanzamiento de dos dados

La variable aleatoria es la suma de los elementos de cada par, por lo tanto, toma los valores del 2 al 12, y las probabilidades para cada uno de los valores de la variable se indican en la tabla 1.

 

Tabla 1 Probabilidad de la variable del ejemplo.3

S

Valores de X : xi

(1,1)

2

(1,2) (2,1)

3

(1,3) (3,1) (2,2)

4

(1,4) (4,1) (2,3) (3,2)

5

(1,5) (5,1) (2,4) (4,2) (3,3)

6

(1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)

7

(2,6) (6,2) (3,5) (5,3) (4,4)

8

(3,6) (6,3) (4,5) (5,4)

9

(4,6) (6,4) (5,5)

10

(5,6) (6,5)

11

(6,6)

12

 

Total:

La gráfica de líneas para este ejemplo es:

 

 

 

1999 Jose 3
Texto: M. en C. María José Marques Dos Santos
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