DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES, FUNCIÓN DE PROBABILIDAD, FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD Y FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

 

Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es el conjunto de pares ordenados (X , f(X)) donde f(X) es la función de probabilidad de X (si X es discreta) o función densidad de probabilidad de X (si X es continua). Una distribución de probabilidad puede estar dada por una tabla, una gráfica o una expresión matemática (fórmula) que da las probabilidades con que la variable aleatoria toma diferentes valores.

Tabla 1 Probabilidad de la variable del ejemplo 3

S

Valores de X : xi

(1,1)

2

(1,2) (2,1)

3

(1,3) (3,1) (2,2)

4

(1,4) (4,1) (2,3) (3,2)

5

(1,5) (5,1) (2,4) (4,2) (3,3)

6

(1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)

7

(2,6) (6,2) (3,5) (5,3) (4,4)

8

(3,6) (6,3) (4,5) (5,4)

9

(4,6) (6,4) (5,5)

10

(5,6) (6,5)

11

(6,6)

12

 

Total:

La gráfica de líneas para este ejemplo es:

Fig. 3 Gráfica de líneas de la Distribución de Probabilidad de la variable aleatoria del ejemplo 4.4

Otro tipo de gráfica empleado para representar una función de probabilidad es el histograma, que consiste en representar una función las probabilidades como áreas.

Fig. 4 Histograma de la Distribución del ejemplo 4

Ejemplo 4: Si lanzamos una moneda legal y representamos por X el número de ensayos realizados hasta que aparece por primera vez un águila, entonces, el espacio muestra correspondiente es infinito, ya que hay un número infinito de numerable de resultados, a saber, 1, 2, 2, 3, … De hecho, X=1 significa que aparece un águila en el primer ensayo, X=2, indica que primero se obtiene sol y en el segundo tiro, un águila, etc. Puesto que las águilas y los soles son igualmente probables, y los ensayos son independientes, tenemos que:

De esta manera, obtenemos la función de probabilidad

La distribución de probabilidad de X se puede expresar mediante una tabla como se ve a continuación:

X

f(X)

1

1/2

2

1/4

3

1/8

4

1/16

5

1/32

 

Ejemplo 5: Se extraen dos tornillos al azar de un conjunto de 10 tornillos, cuatro de los cuales están defectuosos. Encontrar y dibujar la función de probabilidad de la variable aleatoria X = número de tornillos defectuosos extraídos.

Solución: Como hay 10 tornillos de los cuales 4 son defectuosos y se extraen 2 tornillos al azar (sin reemplazo); entonces, el cardinal del espacio muestra es y X toma los valores del 0 al 2 ya que al extraer dos tornillos sólo puede ocurrir que no salga ningún defectuoso, un defectuoso o dos defectuosos, X = {0, 1, 2}. Las probabilidades respectivas son: , y

Distribución de Probabilidad

Gráfica de líneas

Histograma

X f(X)
0 15/45
1 24/45
2 26/45
3 45/45

Distribución de probabilidad de la variable aleatoria del ejemplo 4.5

 

Ejemplo 6: La función densidad de probabilidad normal estándar se define por:

, donde

a continuación se presenta su gráfica y podemos ver que es una curva suave y continua, en lugar de una gráfica de líneas

Fig. 5 Función densidad normal estándar

 

 

 


FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN (ACUMULADA)

Si X es una variable aleatoria, entonces para cualquier número real x0, existe la probabilidad del evento (X toma cualquier valor menor o igual a x0).

La probabilidad que depende de la elección de x0 es la probabilidad acumulada hasta x0 que es la función distribución o distribución acumulada y se denota por F(x0).

F(x0) =

Ejemplo 7: Encuentre los valores de la función distribución acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3.

X

f(X)

F(X)

2

1/36

1/36

3

2/36

3/36

4

3/36

6/36

5

4/36

10/36

6

5/36

15/36

7

6/36

21/36

8

5/36

26/36

9

4/36

30/36

10

3/36

33/36

11

2/36

35/36

12

1/36

36/36

Obsérvese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =

La gráfica de la función distribución acumulada de una variable discreta es siempre una gráfica escalonada.

Fig. 6 Función distribución para la variable aleatoria del ejemplo 4.3

 

Ejemplo 8: Halle los valores de la función distribución acumulada, F(X), de la variable aleatoria X del ejemplo 5.


X f(X) F(X)

0 15/45 15/45

1 24/45 39/45

2 6/45 45/45

Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en términos de la función distribución acumulada F(X), donde x1 y x2 son dos de los valores cualesquiera .

Obsérvese que y son eventos mutuamente exclusivos, su unión es el evento .

Por el axioma 3 de probabilidad, obtenemos

P() = P() + P()

Despejando P se tiene

P = P() - P() = F(x2) - F(x1)

En consecuencia, F(x) determina en forma única la distribución de probabilidades de la variable aleatoria correspondiente.

 

 


FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:

Si X es una variable aleatoria continua, entonces la regla de la correspondencia que define la función distribución acumulada F(X) es:

Hemos usado v para representar la variable de integración, ya que x se usa para representar al límite superior de la integración. El integrando f es la función densidad de probabilidad, y al derivar la expresión anterior (Teorema Fundamental del Cálculo) se tiene que

La función distribución acumulada es

F(x0) =

 

 


PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

2. , si X es discreta

, si X es continua.

Fig. 4.7 Función distribución

3. , si X es continua.

4. Si X es continua

Ejemplo 4.9: Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una función densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de la función de distribución acumulada correspondiente.

  1. ,
  2. ,

Solución: La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral, que es igual a 1. Una vez evaluada la integral definida se despeja la constante c, lo cual garantizará que la función obtenida es una función densidad de probabilidad.

  1. Sustituyendo el valor de c se obtiene la función densidad

    La función distribución es entonces la integral de la función densidad para cualquier intervalo (0,x), la cual permitirá calcular probabilidades para cualquier intervalo.

  2. Para el segundo caso se hará lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia.

La función densidad es entonces

 

 

 

Las propiedades de la función distribución acumulada son:

2. , si X es discreta

, si X es continua.

3. , si X es continua.

4. Si X es continua,

 

 

 

1999 Jose 3
Texto: M. en C. María José Marques Dos Santos
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