MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

 

 

MEDIA: La media o valor medio de una distribución de probabilidad se representa por m , y se define por:

[4.1]

En estas dos fórmulas f(x) es la función de probabilidad y la función densidad de probabilidad respectivamente de la variable aleatoria X en consideración.

Conviene mencionar que la media m se conoce como esperanza matemática de X o, brevemente, esperanza de X, y se representa por E(X).

Ejemplo 10: Supóngase que la variable aleatoria X es el número que queda hacia arriba al lanzar un dado legal. La función de probabilidad correspondiente es para X = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Por consiguiente

que quiere decir que 3.5 es el valor esperado, lo que significa que 3.5 es el valor central de la distribución. Obsérvese que no es necesario que el valor esperado sea un valor posible de la variable aleatoria. También se interpreta en el sentido de que en 10 ejecuciones del experimento, por ejemplo, se espera que la suma de los números obtenidos sea de (10)(3.5) = 35.

Fig. 8 Función de probabilidad correspondiente al ejemplo 4.10

 

Ejemplo 11: Determinar la media o valor esperado de la distribución cuya función densidad de probabilidad está por la regla de correspondencia:

Solución:

 

 

 


VARIANZA: La varianza de una distribución se representa mediante s2 y se define por

[4.2]

donde f(X) representa a la función de probabilidad y a la función densidad de probabilidad, respectivamente, de la variable aleatoria.

Claramente porque , para todo X, y , para todo X. A la raíz cuadrada positiva de la varianza la llamamos desviación estándar y se denota s.

En palabras, la varianza es una medida de dispersión o variabilidad que no tiene interpretación física ya que está en unidades cuadradas.

Si en las fórmulas anteriores desarrollamos el cuadrado del binomio y aplicamos propiedades de las sumatorias (integrales) se llega a una expresión más conveniente para realizar los cálculos

Ejemplo 4.12: Calcular la varianza s2 para la función densidad del ejemplo 4.11

Solución: , m = 2

Fig. 9
  • (a) Distribuciones con igual media y diferente dispersión
  • (b) Distribuciones con medias diferentes e igual dispersión
  •  

    Ejemplo 13: La varianza y la desviación estándar de la distribución del ejemplo 4.10 son:

    s 2 = [(1-3.5)2 + (2-3.5)2 + (3-3.5)2 + (4-3-5)2 + (5-3.5)2 + (6-3.5)2](1/6) = 2.9167

    Ejemplo 14: Encontrar la media y la varianza de la distribución que tiene densidad

    Solución:

    La media de una distribución de probabilidad es

    La varianza de una distribución de probabilidad es

    o

     

     

    1999 Jose 3
    Texto: M. en C. María José Marques Dos Santos
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