ESPERANZA MATEMÁTICA

 

 La esperanza matemática de una función g(X) está dada por

[4.3]

donde f(X) es, respectivamente, la función de probabilidad o la función densidad de probabilidad y g(X) es cualquier función de valores reales que está definida para todos los valores posibles de X.

Ejemplo 15: La probabilidad de que una casa de cierto tipo quede destruida por un incendio en cualquier período de doce meses es de 0.005. Una compañía de seguros ofrece al propietario una póliza de seguros contra incendio por $20,000.00 (dólares) a un año con una prima de $150.00 dólares. ¿Cuál es la ganancia esperada de la compañía?

Solución: Sea S = {se incendie, no se incendie}, el espacio muestral, La variable aleatoria asociada es X = {0,1}, donde 0 significa que se incendie y 1 que no se incendie (estos valores son arbitrarios). g(X) representa la ganancia de la compañía por cada casa asegurada (sin tomar en cuenta gastos). La situación se explica mejor en una tabla.

Evento

X

g(X)

f(X)

Se incendie

0

-$19,850.00

0.005

No se incendie

1

+$150.00

0.995

En caso de que la compañía asegure 20,000 casas, su ganancia esperada sería de $1,000,000.00 (sin tomar en cuenta gastos).

 

La esperanza matemática de una función g(X) está definida por:

 


PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA

Proposición 4.1: E[a g(X) +b h(X)] = a E[g(X)]+b E[h(X)]; a, b constantes. [4.4]

Demostración:

Nota si X es discreta, la demostración se hace en la misma forma, usando sumatorias en vez de integrales.

Proposición 4.2: E[c1 X + c2] = c1 E [X] + c2 [4.5]

Demostración:

 

 

 

1999 Jose 3
Texto: M. en C. María José Marques Dos Santos
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