CONTRASTES DE HIPÓTESIS

 

 

 

Cuando nos interesa decidir si una proposición, una conjetura o suposición acerca de un parámetro poblacional (hipótesis) es verdadera o falsa, el procedimiento de toma de decisión acerca de ésta se denomina contraste de hipótesis.

 

Los contrastes de hipótesis o de significación permiten verificar la veracidad de alguna hipótesis establecida acerca de una población, determinando si los valores difieren significativamente de los esperados por la hipótesis, o si las diferencias observadas se deben al azar.

 

Una hipótesis estadística es una suposición que se plantea respecto a un problema o a una población, con el fin de rechazarla o no.

En los contrastes de hipótesis se distinguen dos hipótesis estadísticas: la hipótesis nula designada por H0, conocida también como hipótesis de no diferencia, que es la que se establece en principio con el único propósito de rechazarla o "anularla"; y una segunda, la hipótesis de investigación o alterna, Ha, que es complementaria de la primera. Cuando se habla de contrastar una hipótesis nula contra una alterna, esto siempre se hace suponiendo que la nula es verdadera.

 

En general la forma de las hipótesis nula y alterna es:

 

H0:  parámetro poblacional = ( £ , ³ ) valor supuesto

Ha:  parámetro poblacional ¹ ( > , < ) valor supuesto

 

 

 

 

TIPOS DE HIPÓTESIS Y REGIÓN CRÍTICA O DE RECHAZO

La hipótesis nula de no diferencia (=) contra una alterna de diferencia (¹) es una hipótesis bilateral o de dos colas porque el rechazo de H0 puede ocurrir hacia un lado u otro; es decir, puede ser diferente porque es menor o porque es mayor que el valor supuesto qo.

H0: q = q0 vs. Ha: q ¹ q0

 

Las hipótesis nulas del tipo (£) o (³) son hipótesis unilaterales o de una sola cola, la primera es unilateral superior o de cola derecha y la segunda es unilateral inferior o de cola izquierda. Esto es:

 

H0: q  £ q0 vs. Ha: q  > q0 es una hipótesis unilateral superior o de cola derecha, porque se rechaza H0 en el caso de que se obtengan valores muy por encima del valor supuesto.

 

Mientras que H0: q  ³ q0 vs. Ha: q  < q0 es una hipótesis unilateral inferior o de cola izquierda, porque se rechaza H0 en el caso de que se obtengan valores muy por debajo del valor supuesto.

 

La región crítica o región de rechazo es la región que contiene los resultados menos favorables a H0, en el supuesto de que H0 sea verdadera y la región de no rechazo es la que contiene los valores más favorables a H0. Estas regiones están separadas por los valores críticos del estadístico de contraste que corresponden a un nivel de significación dado.

 

Según sea el tipo de hipótesis se tendrán regiones críticas para los dos lados (bilaterales o de dos colas) o para un solo lado (unilaterales o de una cola), Ver figura 9.1.

 

 

 

 

ESTADÍSTICO DE PRUEBA O ESTADÍSTICO DE CONTRASTE

Una vez que se han formulado las hipótesis nula, H0, y alterna, Ha, se debe realizar un procedimiento de contraste‚ por medio del cual se toma una decisión basada en la muestra aleatoria seleccionada de la población en estudio. Para llevar a cabo este procedimiento es necesario seleccionar un estadístico de contraste, calcularlo con base en la muestra y luego tomar la decisión de rechazar o no H0, dependiendo de si este estadístico es o no consistente con H0. Es decir, si el valor calculado del estadístico es muy diferente del valor supuesto en H0, suponiendo que ésta es cierta, entonces se rechaza H0. Sin embargo, si el valor calculado del estadístico de contraste es consistente con lo supuesto en H0, entonces no hay razón suficiente para rechazar H0 en favor de la Ha. En resumen, el estadístico de contraste es una variable aleatoria cuya distribución se conoce, en el supuesto de que H0 es verdadera y sirve para tomar la decisión de rechazar o no H0.

 

Figura 1 Regiones Críticas

 

 

 

 

 

TIPOS DE ERRORES

 

El procedimiento de contrastar una hipótesis nula contra una alterna sobre la base de información obtenida de la muestra conduce a dos tipos de errores posibles, debido a fluctuaciones al azar en el muestreo. Si la hipótesis nula es en realidad verdadera, pero los datos de la muestra son incompatibles con ella y se rechaza, se comete un Error Tipo I. Por otro lado, si la hipótesis nula es falsa y los datos de la muestra conllevan a no rechazarla, se comete un Error Tipo II. En el cuadro siguiente se resumen estos tipos de errores:

 

 

Decisiones

Eventos

No rechazar H0

Rechazar H0

H0 V

no error

(confianza)

Error Tipo I

P(E.T.I) = a

H0 F

Error Tipo II

P(E.T.II) = b

no error

(potencia)

 

Las probabilidades de cometer errores Tipo I y II se pueden considerar como los riesgos de decisiones incorrectas. La probabilidad de cometer un error Tipo I (de rechazar una hipótesis nula dado que ésta es verdadera) se llama nivel de significación y se denota por a (alfa). La probabilidad de cometer un error Tipo II (de no rechazar una hipótesis nula dado que ésta es falsa) no tiene nombre en particular, pero se denota por b (beta). La probabilidad de no rechazar una hipótesis nula verdadera es la confianza, 1 - a, con la cual se trabajó para hacer estimaciones por intervalo. Cuando se rechaza una hipótesis nula falsa se ha tomado una decisión correcta y la probabilidad de hacerlo se denomina potencia o poder de la prueba y es 1 - b. En símbolos esto se expresa de la siguiente manera:

 

P(E.T.I) = P(Rechazar H0½H0 V) = a

P(No rechazar H0½H0 V) = Confianza = 1 - a

P(E.T.II)=P(No rechazar H0½H0 F) = b

P(Rechazar H0½H0 F) = Potencia = 1 - b

 

 

El nivel de significancia a lo fija el investigador, y en la práctica se usa  el 1%, el 5% o el 10%.

 

Un procedimiento de contraste ideal debería tener a = 0 y b = 0. Sin embargo, en la práctica, una vez fijado n esto no es posible, por lo que se debe procurar que tanto a como b sean lo más pequeños posible.

 

 

 

 

 

 

PROCEDIMIENTO DE CONTRASTE

 

Los pasos a seguir en un contraste de hipótesis son:

 

1.- Describir las características de la población acerca de la cual se va a probar la hipótesis (establecer si se cumplen los supuestos del contraste).

2.- Formular las hipótesis nula y alterna (H0 y Ha).

3.- Escoger un nivel de significación o probabilidad de Error Tipo I, a.

4.- Seleccionar el estadístico de contraste cuya distribución muestral sea conocida en el supuesto de que H0 sea verdadera, pero sin hacer cálculos todavía

5.- Determinar la región crítica o de rechazo, misma que depende del tipo de hipótesis, de la probabilidad del Error Tipo I y del estadístico de contraste.

6.- Calcular el estadístico de contraste.

7.- Tomar una decisión de rechazar H0 o no rechazarla.

8.- Dar una conclusión al problema.

 

Estos pasos se ilustran en los siguientes capítulos 10 y 11 sobre estimaciones y contrastes de hipótesis para una y dos muestras y en el capítulo 14 sobre regresión.

 

 

 

 

 

© CP y FEZ ZARAGOZA UNAM, 2005

Texto: María José Márques Dos Santos

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